FEM05-虚位移原理

虚位移原理的定义

基于位移的有限元解法的基础是虚位移原理（the principle of virtual displacements），又称为虚功原理。该原理描述如下：处于平衡状态的物体，对其施加任意的满足协调性的微小虚位移（在已经指定了位移的位置，虚位移为0），内力的总虚功等于外力的总虚功。

The basis of the displacement-based finite element solution is the principle of virtual displacements (which we also call the principle of virtual work). This principle states that the equilibrium of the body requires that for any compatible small virtual displacements (which are zero at and corresponding to the prescribed displacements) imposed on the body in its state of equilibrium, the total internal virtual work is equal to the total external virtual work.

以“FEM03-变分法与最小势能原理”中的一维线性结构问题为例，虚位移原理的数学表达如下：

实际上，根据虚位移原理写出的方程，与“FEM03-变分法与最小势能原理”中根据最小势能原理（总势能泛函的变分为零）推导出来的方程（δ∂u=∂δu），是完全一样的。

推广到三维问题，虚位移原理的数学表达如下：

虚位移并不是真正的位移，而是虚构出来的，是完全独立于实际位移的。需要注意的是，在指定了位移的位置，不管指定的位移是多少，虚位移都是零。

强形式与弱形式

在“FEM02-连续系统的微分方程”和“FEM03-变分法与最小势能原理”中得到的控制方程称为“强形式”（strong form），而本文前面介绍的虚位移原理得到的方程是“弱形式”（weak form）。举例说明如下：

该问题的强形式为：

该问题的弱形式为：

前面直接给出了强形式和弱形式的方程，但还是有个疑问：“强”和“弱”到底是在比较什么？就好像两个人要分出强弱，总得先说明比什么。比谁力气大，还是比谁脑洞大，结果可能会不一样。

其实，这里的“强”和“弱”比较的是：对未知状态变量u的可导性或连续性的要求。例如，在前面的一维问题中，强形式要求u二阶可导（C¹连续性），而弱形式只要求u一阶可导（C⁰连续性）。与强形式相比，弱形式对状态变量的连续性要求降低。

弱形式可以由强形式变换得到：在强形式的控制方程两边各乘以任意的“权函数”（weight function），这个“权函数”即虚位移原理中的“虚位移”；然后，对方程两边求积分，并采用分部积分法，即可得到弱形式。

连续性 Continuity

如果一个函数在其整个定义域内的0阶导数直到n阶导数，存在且连续；则称该函数为Cⁿ函数，具有Cⁿ连续性。

A function is called a Cⁿ function if its derivatives of order j for 0≤j≤n exist and are continuous functions in the entire domain.

下图展示了C^-1、C⁰和C¹这三种函数。一般情况下，Cⁿ函数的导数具有C^n-1连续性（the derivative of a Cⁿ function is C^n-1）。例如：如果位移是C⁰函数，那么应变就是C^-1函数。

弱形式（虚位移原理）对状态变量的连续性要求降低，使得有限元法的试函数拥有了更大的函数空间（可以选择更多类型的试函数）。

Reference:

• Finite Element Procedures by Klaus-Jürgen Bathe 轩建平 译
• A First Course in Finite Elements by Jacob Fish & Ted Belytschko